記得很小的時候，特別喜歡用手把臉盆里的水攪成一個漩渦，然后看著漩渦的速度慢慢降下來，直到整個臉盤里的水趨于平靜。彼時，只會玩泥巴的小編只能看著這種有趣的現(xiàn)象一邊傻笑，一邊因為不小心把水灑在地上而被媽媽揍屁股。直到多年以后，在《流體力學(xué)》的課本上結(jié)識了粘性，小編開始理解生活中許多習(xí)以為常的流動現(xiàn)象，也認識到原來粘性如此重要…

０１ 粘性的表象

“粘”，是古漢語規(guī)范字“黏”的通俗字形式，意為橡膠或糨糊一樣的性質(zhì)。而英文中ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ一詞，則是來源于一種植物的拉丁文名稱“ｖｉｓｃｕｍ”，也就是槲寄生，其漿果具有黏稠的特性。

槲寄生 ＶＩＳＣＵＭ▲

在流體力學(xué)術(shù)語中，粘性指的是流體抗拒變形的能力。粘性越大，其抗拒外界剪切力作用的能力越強，比如攪動杯子里的水輕而易舉，但攪動糨糊或者糖漿則有些費力。

對剪應(yīng)力毫無抵抗的流體被稱為理想流體或者無粘流體。不過，只有在極低溫度下的超流體才會呈現(xiàn)無粘的屬性，而我們常見的液體或者氣體都是有一定粘度的。具有極高粘度的流體則在一定程度接近固體屬性，比如常溫下的瀝青。

０２ 粘性的機理

我們都有這樣的生活經(jīng)驗，粘稠的液體加熱后，通常粘度會降低。比如公園里做“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)糖”的老大爺，通常要把糖漿加熱到一定的溫度，才能流暢的做出各種造型。再比如在寒冷的冬季，車輛在啟動的一段時間內(nèi)感覺到動力有一定的下降，換擋也不如平日那么順滑，也主要是由于發(fā)動機、變速箱等動力部件內(nèi)的潤滑油粘度增加而引起。

大部分液體的粘性都會隨溫度上升而降低，但氣體卻恰恰相反——通常而言，氣體的粘度隨溫度升高而增大。而液體和氣體之所以有如此大的差異，是因為它們產(chǎn)生粘性的機理不同。

下圖對比了固體、液體和氣體的分子排列示意圖，可以看出來，固體分子排列緊密且有序，分子之間被分子力牢牢控制而難以發(fā)生隨意的運動。液體分子則不會保持固定的形狀，但它們?nèi)匀恢旅芘帕校拖裼螛穲隼锏暮Ｑ笄颍虼耍后w的分子之間仍具有一定的分子力，而這也是液體粘性的主要來源。

液體分子由于分子力的存在而產(chǎn)生了相互的“糾纏”。而所有的分子或者原子都在自身附近做無規(guī)則的振動，當液體溫度升高時，這種振動加強導(dǎo)致分子之間的“糾纏”變得松松垮垮，因而液體的粘度降低。事實上，局部振動也會引起液體粘度降低，比如陷入泥潭的動物越掙扎下沉的越快。

而氣體分子排列稀疏，分子之間相去甚遠，分子力不再是動量傳輸?shù)闹鲗?dǎo)，而分子間的相互碰撞則成為粘性的來源——比如上層分子運動的同時，也源源不斷到下層串門，把鄰居家也攪得雞飛狗跳，帶來動量的交換。而氣體溫度升高時，這種“串門”就更加頻繁和劇烈，下層也愈發(fā)雞犬不寧，粘度自然增大。

當然，液體內(nèi)部也會存在類似于氣體一樣由于“串門”產(chǎn)生的動量交換，不過相比于液體的分子力而言還很小，不足以主導(dǎo)粘性變化。

０３ 粘性的科學(xué)表達

正如前面所說，人們很早便感受到了流體具有“粘”的屬性，但是如何從科學(xué)上表達流體的粘性成為了一個新的問題。作為世界物理學(xué)界金字塔尖的男人，牛頓幾乎霸屏了整個中學(xué)物理課本，當然也沒有放過流體。１６８６年，牛頓經(jīng)過大量的實驗研究，提出了著名的“內(nèi)摩擦定律”——流體的內(nèi)摩擦力（即粘性力）的大小與流體的性質(zhì)（粘性系數(shù)μ）有關(guān)，并與流體的速度梯度和接觸面積成正比。

自牛頓之后，粘性系數(shù)成為描述流體屬性的一個重要參數(shù)，人們可以直觀的感受到，粘性大的流體不容易流動，而粘性小的流體很容易動起來，但是如何用流體力學(xué)的語言來描述粘性與流動的關(guān)系成為了一個問題。

距離“牛頓內(nèi)摩擦定律”大約兩百年之后，還在原來的地方，另一位著名的英國物理學(xué)家雷諾通過經(jīng)典的流體染色實驗揭示了流動與粘性的關(guān)系：相同的速度、密度和流動尺度條件下，粘度更低的流體更容易趨向于某種混亂的、彎曲的流動，也就是我們后來熟知的湍流。又過了２０多年，著名的物理學(xué)家索末菲在第四屆國際數(shù)學(xué)大會上第一次明確以“雷諾數(shù)”命名了流體力學(xué)中最重要的無量綱數(shù)，而粘性系數(shù)便是雷諾數(shù)中不可替代的分母。

０４ 粘性與湍流

隨著雷諾實驗和雷諾數(shù)被提出來以后，近代流體力學(xué)，尤其是湍流理論的發(fā)展出現(xiàn)了一個前所未有的盛況，而粘性與湍流的關(guān)系也順理成章的轉(zhuǎn)化成了雷諾數(shù)和湍流的關(guān)系。１９７４年刊登于《流體力學(xué)》期刊中的一篇經(jīng)典文章，通過流動顯示技術(shù)生動形象的描繪了雷諾數(shù)和流態(tài)的關(guān)系：隨著雷諾數(shù)的增大，渦旋的整體形狀和尺度基本一致，然而射流摻混的渦系結(jié)構(gòu)卻越來越豐富。

而之所以會出現(xiàn)上圖中的有趣現(xiàn)象，則要牽扯到湍流的生成、傳遞及耗散：湍流中的大渦會破碎為小渦，小渦再破碎為更小的“迷你渦”，然后逐漸耗散，這個過程與當?shù)乩字Z數(shù)相關(guān)。當“迷你渦”變得足夠小時，根據(jù)角動量守恒，渦的角速度將會非常大，意味著局部速度剪切很強，粘性就變得舉足輕重了，于是，“迷你渦”就這樣被粘性耗散掉了。事實上，渦的尺度足夠小時，體現(xiàn)為當?shù)乩字Z數(shù)非常小，粘性力對流體的影響則顯著大于慣性力。

在給定特征長度（大渦尺度）和特征速度（湍流脈動速度）的條件下，流體的粘性幾乎決定了耗散渦的大小，即湍動能在什么樣的尺度上耗散。大渦的形態(tài)取決于幾何尺度，當雷諾數(shù)足夠高且?guī)缀纬叨炔蛔兊那闆r下，增大雷諾數(shù)并不會改變大渦的形態(tài)，但是小渦的尺度取決于湍流雷諾數(shù)，雷諾數(shù)越高的流動需要越小的渦尺度才能完成耗散，因此雷諾數(shù)越高的流動，其大渦到小渦的覆蓋尺度越復(fù)雜。

０５粘性與流體力學(xué)

雖然早在１６８６年，牛頓就通過實驗測得了流體的粘性，可是，當我們攜帶著粘性回歸到流體力學(xué)的時候，還是會發(fā)現(xiàn)由于粘性的存在，使得實際流體運動的研究變得非常復(fù)雜。為了便于理論分析和公式的推導(dǎo)，物理學(xué)家們在流體力學(xué)中引進了“理想流體”的概念。

理想流體當然是假想的，不過研究無粘流體的運動，可以使問題大大簡化，容易得到流體流動的基本規(guī)律。１７５５年，數(shù)學(xué)家歐拉將微分方程應(yīng)用到了流體力學(xué)的領(lǐng)域，并提出了影響后世的歐拉方程，即牛頓第二定律施加到理想流體上的微分方程。

歐拉提出歐拉方程后不久，人們就認識到方程中缺乏粘性項，這會導(dǎo)致歐拉方程的計算結(jié)果和實際產(chǎn)生偏差，比如大家熟知的達朗貝爾佯謬。下圖顯示了理想流體和實際流體下圓柱繞流的對比，可以看出，無粘流動的結(jié)果和實際存在很大的差異。因此，如何在流動方程中添加粘性項成為了跨越百年的流體力學(xué)難題。

后來的我們都知道了《流體力學(xué)的“白月光”》的故事，直到１８４５年，結(jié)合納維對粘度的思考和柯西的張量思維，斯托克斯爵士便大展神威，推出了引無數(shù)流體人盡折腰的“Ｎ－Ｓ方程”，該方程定義為“描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程”。迄今為止，該方程仍然是流體力學(xué)領(lǐng)域里最通用的流體運動方程。

值得一提的是，對某些粘性影響不大的流動問題，忽略粘性所得到的結(jié)果與實際結(jié)果往往差別不大。而對于高雷諾數(shù)的湍流，在主流中使用歐拉方程，而在粘性影響較大的邊界層中使用邊界層方程或者經(jīng)驗公式，也能得到不錯的結(jié)果。

０６物理粘性之外的粘性

粘性是流體流動的穩(wěn)定器所言非虛。而ＣＦＤｅｒ都知道，對于數(shù)值計算而言，粘性也至關(guān)重要。不過在傳統(tǒng)ＣＦＤ算法中，除了物理粘性之外，還有湍流粘性和數(shù)值粘性兩個妖魔鬼怪。湍流粘性

湍流粘性來源于雷諾平均的Ｎ－Ｓ方程，下式中多出來的脈動應(yīng)力項，稱之為雷諾應(yīng)力。１８７７年Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ借助于牛頓切應(yīng)力公式，提出了影響深遠的渦粘性假設(shè)：雷諾應(yīng)力正比于時均速度梯度，其中比例系數(shù)μｔ表征了湍流脈動引起的切應(yīng)力效應(yīng)，稱為渦粘性系數(shù)。

湍流粘性雖然是人為定義的，但是也具有相對清晰的物理含義：由于湍流的“上躥下跳”，給不同速度的流體帶來更多的動量交換，類似于物理粘性對流動帶來的影響。當然，湍流粘性的更大意義在于，ＣＦＤｅｒ們逃脫了直接求解ＮＳ方程的魔咒，轉(zhuǎn)而走向ＣＦＤ的工程實用化。數(shù)值粘性

而數(shù)值粘性則完全是從微分方程離散到差分方程的過程中產(chǎn)生的誤差。從數(shù)學(xué)推導(dǎo)而言，相比于原始的微分方程，從差分方程導(dǎo)出的修正方程中有多余的項。其中二階項的系數(shù)對應(yīng)常規(guī)Ｎ－Ｓ方程中二階項的系數(shù)，類似于方程中的物理粘性，因此被稱為數(shù)值粘性。

數(shù)值粘性實際上是來源于空間離散的步長是一個有限的小量（而不是無限小），這引起了物理變量在這個小范圍內(nèi)的平均，其效應(yīng)相當于擴散，并帶來了額外的動能耗散，也即是粘性。

不同于湍流粘性有相應(yīng)的物理含義，數(shù)值粘性則由對方程的離散處理而來。增加數(shù)值粘性對流場的影響，本質(zhì)上和增大物理粘性類似，比如使分離區(qū)減弱、激波變寬抹平等，本質(zhì)上改變了整個流場的熵。而從雷諾數(shù)的角度理解，增大數(shù)值粘性意味著減小了有效雷諾數(shù)，從而改變了流態(tài)。

從網(wǎng)格離散的那一刻起，數(shù)值粘性便隱含在離散方程的迭代中，降低了解的精度。不過數(shù)值粘性也常常有利于收斂，堪稱ＣＦＤ的穩(wěn)定器。而在許多ＣＦＤ的應(yīng)用中，數(shù)值方法中隱含的數(shù)值粘性還不夠，求解容易發(fā)散，因此人們還會顯性添加更多的數(shù)值粘性。在《計算流體力學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》的書中，作者建議道：對于那些必須使用人工粘性的問題，審慎的運用大概率都能獲取合理的、有時甚至相當精確的解。但重要的是，你必須知道自己在做什么。

結(jié)語

粘性作為流體的穩(wěn)定器，多年以來讓ＣＦＤｅｒ們又愛又恨。而給自己的程序中添加粘性時，我們仿佛化身食堂打菜的大媽，每舀起一勺總要忍不住抖三抖，生怕加的多了。不過望著窗外可憐的快要發(fā)散的小眼神，又忍不住糾結(jié)起來。